V predchádzajúcich číslach našich Listov sme občas uverejňovali zaujímavé úlohy na “domáce” riešenie. V tradícii mienime pokračovať aj naďalej v dobrej viere, že nám občas pošlete riešenia Vašich žiakov. Radi ich aj s menami uverejníme. Vo Fyzikálnych Listoch 5,2000,1. Sme uverejnili zaujímavý príklad kolegu doc. Tirpáka z Katedry rádiofyziky našej fakulty. Zdá sa, že sme nedomysleli jeho obtiažnosť, najmä to, že vyžaduje základné znalosti z infinitezimálneho počtu. Preto neuvádzame ani jeho riešenie, je však k dispozícii pre záujemcov v našej redakcii.

Dnes uverejňujeme ďalší príklad z pera toho istého autora. Dúfame, že teraz by nejaké riešenia prišli, nakoľko nevyžadujú prakticky žiadnu matematiku. Aby Vaši žiaci, vzhľadom na dlhú dobu, ktorá uplynie medzi dvomi číslami nášho časopisu, nestrácali trpezlivosť, uverejňujeme zároveň aj autorovo riešenie.

Príklad: Na obrázku je znázornená časť nekonečnej štvorcovej drôtenej mriežky z odporového materiálu, pričom každý úsek medzi dvoma uzlami mriežky má odpor R = 1 W.

Poznámky k riešeniu: Ak by sa k svorkám na obrázku pripojil zdroj elektromotorického napätia E, vo vytvorenom prúdovom obvode by tiekol prúd I a hľadaný odpor by bol daný pomerom E /I. To znamená že k výpočtu odporu treba vypočítať prúd celou nekonečnou mriežkou vzhľadom na vybrané svorky. Teoreticky je to úloha na využitie Kirchhoffových zákonov, kde by však počet Kirchhoffových rovníc bol nekonečný, vzhľadom na nekonečný počet uzlov a slučiek v mriežke. To nie je schodná cesta k riešeniu úlohy.

Existuje však riešenie, ktoré nevyžaduje ani znalosť Kirchhoffových zákonov iba poznať princíp symetrie vetvenia prúdov a princíp superpozície. Výsledok možno napísať takmer z pamäti. Aj samotný výsledok je neobyčajne jednoduchý.

Predpokladajme, že k nekonečnej mriežke na obrázku sú pripojené dva rovnaké prúdové zdroje I, a to tak, že k uzlu A je pripojený kladný pól jedného zdroja a k uzlu B je pripojený záporný pól druhého zdroja. Zostávajúce dva póly obidvoch zdrojov sú k mriežke pripojené formálne v nekonečne. Prvý zdroj dodáva do obvodu tvoreného mriežkou prúd I, ktorý sa symetricky rozteká do štyroch vetiev okolo uzla A. Do uzla B sa podobným spôsobom stekajú také isté prúdy. Z hľadiska uzlov A a B pôsobí v mriežke prúdový zdroj I, ktorého polovica prúdu (I/4 + I/4) tečie vetvou medzi uzlami A a B a druhá polovica zbytkom celej nekonečnej mriežky. Odpor vetvy R a odpor zvyšku mriežky vzhľadom na uzly A a B sú teda rovnaké a sú zapojené paralelne. Z toho plynie, že odpor celej mriežky medzi uzlami A a B je R_AB = R/2.