Prílohy

 

        P1  Matematické postupy vo fyzike

 

Priama úmernosť a lineárna funkcia

 

 


Obr. P1-1 Priama úmernosť y = kx, lineárna závislosť y = kx + q.

 


Lineárna funkcia alebo lineárna závislosť premenných x a y sa nazýva v mate­matike vzťah

                                   y = kx + q

kde x a y sú premenné a k a q sú konštanty. Graf lineárnej funkcie v pravouhlej sústave súradníc x, y je priamka, ktorá pretína zvislú os y v bode so súradnicami
x = 0, y = q. Ak konštanta q = 0, priamka lineárnej funkcie prechádza začiatkom a lineárna funkcia má tvar

                                      y = kx

Túto funkciu nazývame priama úmernosť medzi premennými x, y.

Konštanta k vystupujúca v lineárnej funkcii aj v priamej úmernosti určuje sklon priamky a má hodnotu

                                  

Vo fyzikálnych závislostiach y = f(x) meriame zmeny Dx, Dy v jednotkách veličín x, y, ktoré zobrazujeme na súradnicových osiach.

 

Kvadratická funkcia

 


Obr. P1-2 Graf kvadratickej funkcie v tvare y = ax2 (a je konštanta). Charakteristický znak: Ak zväčšíme premennú x dvakrát (trikrát, štyrikrát…) zväčší sa hodnota funkcie (premenná y) štyrikrát (deväťkrát, šestnásťkrát…).

 


Nepriama úmernosť

 


Obr. P1-3 Graf nepriamej úmernosti 

 v tvare

            (k je konštanta).

Charakteristické znaky:

–       Súčin súradníc bodov grafu je konštantný (xi · yi = k).

–       Pri zmene premennej x na dvoj (troj, štvor…) násobok, zmení sa hodnota premennej y na polovicu (tretinu, štvrtinu…).

 

Zaokrúhľovanie výsledkov merania a výpočtov

 

Veľkosť fyzikálnej veličiny vyjadrujeme vzťahom

,                                                          (1)

v ktorom {X} je číselná hodnota a [X] jednotka fyzikálnej veličiny X.

Pri riešení fyzikálnych úloh vstupujú číselné hodnoty fyzikálnych veličín do numerických výpočtov, ktoré spravidla robíme elektronickým výpočtovým zariadením – ručným, či stolným kalkulátorom alebo na počítači.

Na displeji kalkulátora sa zobrazujú číselné hodnoty s určitým počtom číslic, napr. 8 alebo viac – spravidla s väčším počtom, ako sme schopní využiť. Preto pri zápise výsledku výpočtu zobrazeného na displeji sa obvykle obmedzíme na určitý počet platných číslic tak, že číslicu na poslednom mieste čísla zaokrúhlime.

Pri zaokrúhlovaní a pri voľbe počtu platných číslic platia pravidlá, ktorými sme povinní sa riadiť.

Niekoľko základných pravidiel:

 

2.                 Za platné číslice číselnej hodnoty veličiny považujeme všetky číslice okrem núl, ktoré vystupujú v popredí jej číselnej hodnoty.

veličina

počet platných číslic

t = 10,35 s

4

s = 100 m

3

s = 0,080 g · cm−3

2

 

2.                 Posledná platná číslica zaokrúhleného čísla sa nezmení, ak prvá zanedbaná číslica bola menšia ako 5. Ak prvá zanedbávaná číslica má hodnotu 5 alebo väčšiu, posledná platná číslica zaokrúhleného čísla sa zväčší o jednotku.

Napr.: Pri zaokrúhľovaní čísel 0,056 2 a 0,236 3 na dve platné číslice dostaneme 0,056 2 » 0,056; 0,236 3 » 0,24.

 

3.                 Ak vzťah, z ktorého sme vypočítali výsledok, má tvar súčinu alebo podielu veličín, výsledok zaokrúhľujeme na rovnaký počet platných číslic, aký prislúcha veličine s najmenším počtom platných číslic.

 

4.                 Ak vzťah, z ktorého sme vypočítali výsledok, má tvar súčtu alebo rozdielu veličín, výsledok zaokrúhľujeme na rovnaký počet desatinných miest, aký prislúcha veličine s najmenším počtom miest za desatinnou čiarkou.

 

Meranie uhla v oblúkovej miere

Uhol môžeme merať pomocou rôznych jednotiek. V každodennej praxi zvykneme veľkosť uhla vyjadrovať pomocou jednotiek stupeň (°). Z geometrie vieme, že plný uhol má 360°, priamy uhol 180°, pravý uhol 90°.

Vo fyzike pracujeme s oblúkovou mierou uhla, v ktorej je jednotkou uhla „radián“ (značka rad).

                                   

Uhol v oblúkovej miere vyjadríme ako podiel dĺžky oblúka a polomeru kružnice

Pre plný uhol (360° v stupňovej miere) platí

 

alebo

 


Obr. P1-4 K definícii uhla v oblúkovej miere: Radián je stredový uhol, ktorého ramená vyme­dzia na obvode kružnice oblúk, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kružnice r = s.

 


Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

V pravouhlom trojuholníku používame definície goniometrických funkcií

Funkcia sínus (sin) uhla je pomer protiľahlej odvesny k prepone.

Funkcia kosínus (cos) uhla je pomer priľahlej odvesny k prepone.

Funkcia tangens (tg) uhla je pomer protiľahlej odvesny k priľahlej odvesne.

Funkcia kotangens (cotg) uhla je pomer priľahlej odvesny k protiľahlej odvesne.

Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

Obr. P1-5

K definícii goniometrických funkcií.

 

Skladanie vektorov

Skladanie vektorov je geometrickým zobrazením súčtu vektorov.

Vektor je určený:

–       Smerom (orientáciou) vektorovej priamky na ktorej leží (hovoríme tiež, že vektorová priamka je nositeľka vektora).

–       Veľkosťou, ktorá je zobrazená dĺžkou vektora. Ak je vektor obrazom fyzikálnej veličiny, volíme si pri jej zobrazení spravidla najprv vektor, ktorý zobrazuje jednotkovú veľkosť veličiny – jednotkový vektor.

 

Skladanie rovnobežných vektorov

Rovnobežné vektory skladáme tak, aby výsledný vektor bol zobrazený úsečkou, ktorej veľkosť sa rovná súčtu veľkostí skladaných vektorov. Rovnobežné vektory môžu byť orientované súhlasne alebo nesúhlasne – to berieme do úvahy aj pri sčitovaní.

Výsledok skladania dvoch súhlasne rovnobežných vektorov je vektor s dĺžkou, ktorá sa rovná súčtu dĺžok skladaných vektorov. Výsledný vektor má rovnaký smer ako obidva skladané vektory.

Výsledok skladania dvoch nesúhlasne rovnobežných vektorov je vektor s dĺžkou, ktorá sa rovná rozdielu dĺžok skladaných vektorov. Výsledný vektor smeruje na stranu väčšieho z nich.

Dva vektory rovnakých veľkostí a s opačnými smermi nazývame „opačné vek­tory“. Zložením opačných vektorov dostaneme nulový vektor.

Odčítať vektor znamená pripočítať vektor, ktorý je k nemu opačný.

                               

 


                  

                                                                               Obr. P1-6

 

 

Skladanie rôznobežných vektorov

Vektory, ktoré navzájom zvierajú uhol a rôzny od nuly alebo od priameho uhla (p), skladáme podľa pravidla vektorového rovnobežníka.

Obr. P1-7

Na obrázku majú skladané vektory spoločný začiatok. V ňom leží aj začiatočný bod výsledného vektora. Koncovými bodmi skladaných vektorov (zložiek) vedieme rovnobežky. Ich priesečník je koncovým bodom výsledného vektora. Vznikol rovno­bežník, ktorého strany majú rovnakú veľkosť ako skladané vektory. Výsledný vektor leží v uhlopriečke rovnobežníka.

 

Rozklad vektora na rôznobežné zložky

Obr. P1-8 Pravidlo vektorového rovnobežníka používame aj pri rozkladaní vektorov.

 

Pri úlohe „rozložiť vektor do dvoch daných smerov“ postupujeme tak, že s da­nými smermi vedieme rovnobežky začiatočným a koncovým bodom rozkladaného vektora. Tak vznikne rovnobežník, v ktorom je rozkladaný vektor uhlopriečkou, a ktorého strany zodpovedajú veľkostiam vektorov, ktoré sú jeho zložkami.

 

Veľkosť výsledného vektora pri skladaní rôznobežných vektorov

Pre veľkosť vektora, ktorý leží v uhlopriečke vektorového rovnobežníka, platí matematický vzťah, ktorý nazývame kosínusová veta.

Ak označíme (tučným, šikmým písmom) vektor c a jeho vektorové zložky a, b, môžeme pre ich vzájomný vzťah písať vektorovú rovnicu

                               Obr. P1-9 Ku kosínusovej vete