3.20   Zvislý vrh nahor

 

V predchádzajúcich dvoch článkoch sme skladali pohyby, ktoré prebiehali v na­vzájom rôznych smeroch. Často však skladáme aj pohyby, ktoré má teleso súčasne konať tým istým smerom alebo navzájom opačnými smermi. Snáď najčastejší prípad zloženého pohybu, ktorého zložky ležia v jednej priamke, je pohyb cestujúceho v dopravnom prostriedku, napr. vo vlaku:

 

Príklad

Vlak sa pohybuje rýchlosťou vv = 20 m · s−1 vzhľadom na trať a v jeho vnútri prechádza vagónmi rýchlosťou vc = 2 m · s−1 cestujúci, ktorý hľadá jedálny vozeň. Akou rýchlosťou sa pohybuje cestujúci vzhľadom na trať?

Riešenie

Predpokladajme, že cestujúci má svoje miesto blízko stredu vlaku. Aby vyhľadal jedálny vozeň má dve možnosti:

a)                 Cestujúci sa vyberie hľadať v smere pohybu vlaku. Vtedy jeho výsledná rýchlosť vzhľadom na trať bude súčtom rýchlosti vlaku a rýchlosti, ktorou sa pohybuje voči vlaku, v = vv + vc; v = 20 m · s−1 + 2 m · s−1 = 22 m · s−1.

b)                Cestujúci sa pohybuje proti smeru pohybu vlaku. Úvaha je podobná ako v prí­pade a), ale rýchlosť výsledného zloženého pohybu cestujúceho vzhľadom na trať bude rozdielom rýchlostí skladaných pohybov v = vvvc; v = 20 m · s−1
− 2 m
 · s−1 = 18 m · s−1.

V diskusii o úlohe by sme mali uvážiť aj prípad, kedy vlak sa pohybuje celkom pomaly, napr. rýchlosťou 2 m · s−1 a cestujúci v ňom uteká smerom dozadu rých­losťou 4 m · s−1. Presvedčte sa, že výpočtom nám vyjde pre jeho zložený pohyb výsledná rýchlosť záporná. Vysvetlite prečo!

V príklade, ktorý sme práve vyriešili, konal cestujúci súčasne dva priamočiare rovnomerné pohyby. Rozoberme teraz príklad zloženého pohybu, pri ktorom jedna zo zložiek je nerovnomerný pohyb. Tak ako v článku 3.19, teleso sa bude pohybovať v tiažovom poli Zeme.

 
Zvislý vrh nahor

Na obr. 3-51 sme teleso „vrhli“ zvisle nahor. Telesom môže byť napr. kameň, vystrelený z praku alebo projektil vystrelený zo zbrane, ktorej hlaveň sme obrátili zvisle nahor. Náčrt situácie je na obr. 3-51.

Pri analýze úlohy budeme vychádzať z princípu nezávislosti pohy­bov:

1.                 Keby nebolo tiažového poľa, kameň (hmotný bod) by sa pohyboval podľa prvého Newtonovho zákona zvisle nahor tou rýchlosťou v0, ktorou sme ho na začiatku uviedli do pohybu. Jeho pohyb by bol priamočiary rovnomerný.

V čase t1 by sa kameň nachádzal v bode Q a jeho rýchlosť smerom nahor by mala veľkosť v0. Dráha OQ, meraná od povrchu Zeme, sa dá vyjadriť vzťahom OQ = v0t1.

2.                 Druhý pohyb, ktorý kameň koná súčasne s rovnomerným pohybom nahor, je voľný pád. V tom istom čase t1 by kameň v opačnom smere, voľným pádom zvisle nadol, proti smeru kladnej orientácie osi y pre­šiel dráhu

 .


Obr. 3-51                                                            

3.                 Pri stanovení okamžitej polohy kameňa v čase t1 vyjadríme jeho zvislú súradnicu y1 ako rozdiel dráh, ktoré prešiel rovnomerným pohybom nahor a voľným pádom nadol

                             

4.                 Pri stanovení okamžitej rýchlosti v1 kameňa v čase t1 odpočítame od rýchlosti jeho rovnomerného pohybu rýchlosť, ktorú by v čase t1 nadobudol pri voľnom páde

                                 v1 = v0gt

 
Výška zvislého vrhu nahor

Na obr. 3-51 sme vyznačili, ako sa ukončí pohyb, ktorý sme nazvali zvislý vrh nahor. Rýchlosť pohybu klesne na nulu. Nasleduje voľný pád telesa späť na zemský povrch. Nulová rýchlosť pohybu v = 0, je podmienka, ktorá musí byť splnená pre najvyšší bod dráhy zvislého vrhu nahor. Označme teda yM maximálnu výšku, do ktorej teleso doletí a tM označme čas výstupu, v ktorom túto výšku dosiahne. Z rovnice označenej (1) vychádza čas výstupu po dosadení podmienky v = 0

0 = v0g tM Ţ                 

Po dosadení do rovnice (1) vychádza pre výšku, do ktorej teleso vystúpi

        

Teleso vrhnuté zvisle nahor vystúpi do najvyššieho bodu dráhy v čase

  

a dosiahne pri tom výšku

.

 

Pri skúmaní pohybu máme spravidla možnosť voliť si súradnicovú sústavu, v ktorej sa pohyb odohráva tak, aby sme ho mohli opísať jednoduchým spôsobom. Pri opise zvislého vrhu nahor nám vyhovuje voľba súradnej osi y orientovanej nahor, ako je to znázornené na obr. 3-51.

V článku 3.8 (obr. 3-22 ć) sme skúmali pohyb, ktorý by sme mohli nazvať „zvislý vrh nadol“. Všimnite si, že pri jeho opise sme si zvolili súradnicový systém odliš­ným spôsobom. Zvislú súradnicovú os sme označili s ako os dráhy a orientovali sme ju nadol (pozri napr. obr. 3-20 v článku 3.7). Pre dráhu, ktorú hmotný bod prešiel v smere tejto osi, potom vychádza

Vráťte sa ešte raz k tomuto pohybu a uvážte, aké by boli jeho zložky, keby sme ho chceli považovať za zložený pohyb a opisovali ho v súradnicovej sústave z obr. 3-51 ć.

 

Úlohy

1.                Pri streľbe z kanóna smerom zvisle nahor je začiatočná rýchlosť strely 800 m · s−1. Určte aký bude čas výstupu a do akej výšky by strela mala vystúpiť. Vysvetlite, prečo hodnota výšky výstupu vypočítaná zo vzťahov, ktoré sme odvodili v tomto článku, nie je v skutočnosti možná a reálna. [» 81,6 s; 32,6 km; do tejto výšky by strela vystúpila len v neodporujúcom prostredí, napr. vo vákuu]

2.                Zaoberali sme sa niekoľkými druhmi pohybu, ktorý sme nazvali vrh (vrh zvislý nahor, vodorovný vrh…). Každý z nich sme analyzovali ako pohyb zložený z rov­nomerného priamočiareho pohybu a z voľného pádu. Pokúste sa teraz analyzovať pohyb, ktorý sa nazýva „šikmý vrh“. Teleso sa pohybuje šikmým vrhom vtedy, ak ho uvedieme do pohybu určitou začiatočnou rýchlosťou v0 v smere priamky, ktorá zviera s vodorovnou rovinou určitý uhol a. Návod: Inšpirujte sa v predchá­dzajúcom článku na pohybe, ktorý sme nazvali vodorovný vrh. Pri konštrukcii trajektórie šikmého vrhu použite rovnaký postup.