Intenzita gravitačného poľa Zeme

1. Telesá pôsobia na seba gravitačnou silou Fg. Okolo každého telesa je gravitačné pole, ktoré sa opisuje veličinami intenzita gravitačného poľa K(K=Fg/m) a gravitačný potenciál j(j=Ep/m)+konst. V stredoškolských učebniciach fyziky sa týmito veličinami opisuje gravitačné pole v okolí Zeme. Pre intenzitu gravitačného poľa Zeme na povrchu Zeme, resp. vo výške h nad jej povrchom sa obvykle uvádzajú vzťahy

K=kMz/R2z (1)
K=kMz/(Rz+h)2 (2)

V učebniciach sa konštatuje:
- intenzita gravitačného poľa Zeme v danom mieste poľa sa rovná gravitačnému zrýchleniu v tomto mieste, K=ag,
- veľkosť gravitačného zrýchlenia na povrchu Zeme sa približne rovná veľkosti zrýchlenia voľného pádu (g = 9,81 m/s-2), potom aj K=10 Nkg-1,
- gravitačné pole v blízkom okolí Zeme možno považovať za homogenné.

2. Pri preberaní učiva o gravitačnom poli Zeme môžu vzniknúť otázky: Je gravitačné pole aj vo vnútri Zeme? Ak áno, je tiež homogénne ? Ak nie je homogenné, od čoho závisí jeho intenzita?

Vo vysokoškolskom kurze fyziky môžeme na prvú otázku odpovedať kladne s použitím Ostrogradského - Gaussovej vety, z ktorej vyplýva: tok vektora intenzity gravitačného poľa N(N=(K.dS)) cez ľubovoľnú uzavretú plochu závisí len od hmotnosti M telesa nachádzajúceho sa v jej vnútri, N=-4pkM. V okolí homogennej gule s hmotnosťou M je gravitačné pole rovnaké, ako v okolí hmotného bodu s rovnakou hmotnosťou, ktorý je umiestnený v jej strede. Z tohto výsledku sa implicitne vychádza pri výpočte veľkosti intenzity gravitačného poľa Zeme podľa rovníc (1) a (2).
Na strednej škole Gaussovu vetu nemáme k dispozícii, pokúsime sa preto odpovedať na uvedené otázky na základe úvah a všeobecných poznatkov žiakov, prípadne ich skúseností. - Na prvú otázku je odpoveď pomerne jednoduchá, pretože žiaci vedia (prípadne majú aj vlastnú skúsenosť), že predmety padajú smerom dolu (nie „na zem") aj v jaskyni, aj v bani, teda v miestach nachádzajúcich sa pod povrchom Zeme. Z toho možno usúdiť: gravitačné pole je nielen v okolí, ale aj vo vnútri Zeme.


Obr. 1

V ďalších úvahách budeme považovať Zem za homogennú guľu s hustotou r. Uvažujme najskôr, akou gravitačnou silou pôsobí Zem na hmotný bod hmotnosti m nachádzajúci sa v strede Zeme (obr 1.). Z obrázku možno usúdiť, že účinky gravitačných síl pôsobiacich na tento hmotný bod od ostatných v priestore guľovo - symetricky rozdelených častí Zeme sa navzájom rušia; výsledná gravitačná sila pôsobiaca na hmotný bod nachádzajúci sa v strede Zeme je nulová. Z definičného vzťahu pre intenzitu gravitačného poľa potom vyplýva: intenzita gravitačného poľa K Zeme v jej strede je nulová.
Uvažujme, akou výslednou gravitačnou silou pôsobia ostatné časti Zeme na hmotný bod hmotnosti m, nachádzajúci sa v mieste A na myslenej homogennej guli polomeru r, ktorej stred je totožný so stredom Zeme (obr. 2). - Vzhľadom na rozličné vzdialenosti priestorovo rozložených častí Zeme (ležiacich mimo „vpísanej" gule) od miesta A, z obr. 2 nemožno jednoznačne usúdiť aká je veľkosť výslednej gravitačnej sily. S veľkou dávkou priestorovej predstavivosti v prípadoch, keď je polomer r „vpísanej" gule veľmi malý, resp. keď sa jeho veľkosť blíži k veľkosti polomeru Zeme R, sa nám javí, že výsledná gravitačná sila pôsobiaca na hmotný bod hmotnosti m v mieste A sa rovná nule. (Tento záver nemôžeme pomocou obr. 2 „dokázať", ani ilustrovať, ale je v súlade s Gaussovou vetou.)


Obr. 2

3. Konštatovali sme, že gravitačné pole je aj vo vnútri Zeme. Intenzita gravitačného poľa Zeme v jej strede je nulová, ale na povrchu Zeme má veľkosť približne 10 Nkg-1. Predmety padajú smerom dole aj v miestach nachádzajúcich sa pod povrchom Zeme. Ktoré časti Zeme pôsobia gravitačnou silou na tieto telesá? Z obr. 2 možno usúdiť, že sú to časti Zeme ležiace vo vnútri „vpísanej" gule s polomerom r.
Hmotný bod ležiaci v mieste A na povrchu „vpísanej" gule je vlastne analógiou hmotného bodu, či telesa nachádzajúceho sa na povrchu Zeme. Pre veľkosť intenzity gravitačného poľa K v mieste A potom môžeme písať vzťah analogicky ku vzťahu (1) K=kM'/r2 (3), kde M´ je hmotnosť tej časti Zeme, ktorá sa nachádza vo vnútri „vpísanej" gule, M'=4prr3/3.
Po dosadení do vzťahu (3) a úprave, môžeme pre intenzitu gravitačného poľa v mieste A písať:
K=k(4prr3/3)/r2 = k( 4p/3)rr (4).
Zo vzťahu (4) vyplýva: Intenzita gravitačného poľa K vo vnútri Zeme je priamo úmerná vzdialenosti r miesta od stredu Zeme.
Poznámka: Vzťah (4) a úvaha, ktorá mu predchádza, platí samozrejme pre každé homogenné teleso tvaru gule, ktoré má hustotu r, napr. pre Mesiac.

To je odpoveď na tretiu, ale súčasne aj na druhú otázku. Ak sa intenzita gravitačného poľa vo vnútri Zeme mení so vzdialenosťou miesta A od stredu Zeme, gravitačné pole vo vnútri Zeme nie je homogenné. Správnosť vzťahu (4) a teda nepriamo aj našich úvah, môžeme overiť výpočtom veľkosti intenzity gravitačného poľa Zeme v mieste A na povrchu Zeme. Za polomer r dosadíme polomer Zeme (R = 6,4 .106 m) a za hustotu r priemernú hodnotu hustoty Zeme, r= 5520 kgm-3.

Obr. 3 Modelovanie priebehu intenzity gravitačného poľa Zeme v programovom systéme IP-COACH

4. Priebeh funkčnej závislosti intenzity gravitačného poľa Zeme vo vnútri i nad povrchom Zeme možno graficky zobraziť pomocou jednoduchého počítačového modelu (obr. 3).

Jozef Janovič, MFF UK Bratislava

.


[ Predchádzajúci článok | Úvodná strana | Nasledujúci článok ]